¿Cuál es la proyección de (3i + 2j - 6k) sobre (3i - 4j + 4k)?

Responder:

La proyección vectorial es #< -69/41,92/41,-92/41 >#, la proyección escalar es # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Explicación:

Dado # veca = (3i + 2j-6k) # y # vecb = (3i-4j + 4k) #, podemos encontrar #proj_ (vecb) veca #, la vector proyección de # veca # sobre # vecb # utilizando la siguiente fórmula:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Es decir, el producto punto de los dos vectores dividido por la magnitud de # vecb #, multiplicado por # vecb # dividido por su magnitud. La segunda cantidad es una cantidad vectorial, ya que dividimos un vector por un escalar. Tenga en cuenta que dividimos # vecb # por su magnitud con el fin de obtener una vector unitario (vector con magnitud de #1#). Puede notar que la primera cantidad es escalar, ya que sabemos que cuando tomamos el producto punto de dos vectores, la resultante es un escalar.

por lo tanto, el escalar proyección de #una# sobre #segundo# es #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, tambien escrito # | proj_ (vecb) veca | #.

Podemos comenzar tomando el producto punto de los dos vectores, que se puede escribir como # veca = <3,2, -6> # y # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Entonces podemos encontrar la magnitud de # vecb # tomando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada uno de los componentes.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

Y ahora tenemos todo lo necesario para encontrar la proyección vectorial de # veca # sobre # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Puede distribuir el coeficiente a cada componente del vector y escribir como:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

La proyección escalar de # veca # sobre # vecb # Es solo la primera mitad de la fórmula, donde #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Por lo tanto, la proyección escalar es # -23 / sqrt (41) #, que no simplifica más, además de racionalizar el denominador si se desea, dando # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

¡Espero que ayude!