Responder:
No creo que esa ecuación sea válida. Estoy asumiendo #abs (z) # es la función de valor absoluto
Explicación:
Intenta con dos términos, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Por lo tanto
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Tal vez te refieres a la desigualdad del triángulo para los números complejos:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Podemos abreviar esto
# | suma z_i | le sum | z_i | #
donde están las sumas #sum_ {i = 1} ^ n #
Lemma # texto {Re} (z) le | z | #
La parte real nunca es más grande que la magnitud. Dejar # z = x + iy # para algunos reales #X# y # y #. Claramente # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # y tomando raíces cuadradas # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. La magnitud es siempre positiva; #X# puede o no puede ser; de cualquier manera nunca es más que la magnitud.
Usaré el overbar para el conjugado. Aquí tenemos un número real, la magnitud cuadrada, que es igual al producto de los conjugados.El truco es que es igual a su propia parte real. La parte real de la suma es la suma de las partes reales.
# | suma z_i | ^ 2 = barra sum_i z_i (sum_j z_j) = texto {Re} (barra sum_i z_i (sum_j z_j)) = texto sum_i {Re} (barra z_i (sum_j z_j)) #
Por nuestro lema, y la magnitud del producto que es el producto de magnitudes, y la magnitud de los conjugados son iguales,
# | suma z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | barra (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Podemos cancelar un factor de la magnitud de la suma. # | suma z_i | #, lo cual es positivo, preservando la desigualdad.
# | suma z_i | le sum | z_i | #
Eso es lo que queríamos probar.
