Pregunta # 35a7e

Responder:

Como se menciona en los comentarios a continuación, esta es la serie de MacLaurin para #f (x) = cos (x) #, y sabemos que esto converge en # (- oo, oo) #. Sin embargo, si querías ver el proceso:

Explicación:

Como tenemos un factorial en el denominador, usamos el prueba de razón, ya que esto facilita un poco las simplificaciones. Esta fórmula es:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Si esto es <1, tu serie converge

Si esto es> 1, tu serie diverge

Si esto es = 1, tu prueba no es concluyente

Entonces, hagamos esto:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Nota: tenga mucho cuidado con la forma en que conecta su (k + 1). 2k se convertirá en 2 (k + 1), NO 2k + 1.

Multiplicado por el recíproco de # x ^ (2k) / ((2k)!) # En lugar de dividir solo para hacer el trabajo un poco más fácil.

Ahora, vamos a álgebra. Debido al valor absoluto, nuestros términos alternos (es decir, # (- 1) ^ k #) solo vamos a cancelar, ya que siempre tendremos una respuesta positiva:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Podemos cancelar nuestro # x ^ (2k) #'s

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Ahora necesitamos cancelar los factoriales.

Recordar que # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

También, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Darse cuenta:

# (2k)! = color (rojo) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * color (rojo) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Como puedes ver, nosotros # (2k)! # es esencialmente una parte de # (2k + 2)! #. Podemos usar esto para cancelar todos los términos comunes:

# (((2k)!) / ((2k + 2)!) = Cancelar (color (rojo) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * cancelar (color (rojo) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Esto deja

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Ahora, podemos evaluar este límite. Tenga en cuenta que ya que no estamos tomando este límite con respecto a #X#, podemos factorizarlo:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Como puede ver, este límite = 0, que es menor que 1. Ahora, nos preguntamos: hay algun valor de #X# ¿Para qué este límite sería 1? Y la respuesta es no, ya que cualquier cosa multiplicada por 0 es 0.

Entonces desde #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # para todos los valores de #X#, podemos decir que tiene un intervalo de convergencia de # (- oo, oo) #.

Espero que haya ayudado:)