¿Cuántos números hay entre 1 y 99999 que tienen la suma de sus dígitos igual a 9? Necesito el método.

Responder:

#715#

Explicación:

# "Matemáticamente estamos buscando a, b, c, d, e tal que" #

# "a + b + c + d + e = 9. a, b, c, d, e son enteros positivos." #

# "Este es un problema de estrellas y barras. Tenemos 9 estrellas (la suma" #

# "de los dígitos) y se deben dividir en 5 grupos." #

# "El número de combinaciones para eso es C (9 + 4,4) = C (13,4)," #

#"con"#

#C (n, k) = (n!) / ((N-k)! K!) #

# "Así que aquí tenemos" #

#C (13,4) = (13!) / ((9!) (4!)) = 715 #

# "posibilidades".

Responder:

#715#

Explicación:

Supongamos que tienes #5# cajas y #9# Objetos idénticos para repartir entre ellos. ¿De cuántas maneras se puede hacer?

Escritura # "" ^ n D_k # Por el número de formas de distribución. #norte# objetos idénticos entre # k # cajas, tenemos:

• # "" ^ 0 D_k = 1 #

• # "" ^ 1 D_k = k #

• # "" ^ n D_1 = 1 #

• # "" ^ n D_2 = "" ^ n D_1 + "" ^ (n-1) D_1 + … + "" ^ 0 D_1 = n + 1 #

• # "" ^ n D_3 = "" ^ n D_2 + "" ^ (n-1) D_2 + … + "" ^ 0 D_2 #

  # = (n + 1) + ((n-1) +1) + … + (1 + 1) + (0 + 1) = 1/2 (n + 1) (n + 2) #

• # "" ^ n D_4 = "" ^ n D_3 + "" ^ (n-1) D_3 + … + "" ^ 0 D_3 #

  # = 1/2 (n + 1) (n + 2) + 1/2 ((n-1) +1) ((n-1) +2) + … + 1/2 (0 + 1) (0 + 2) #

# = 1/6 (n + 1) (n + 2) (n + 3) #

• # "" ^ n D_5 = "" ^ n D_4 + "" ^ (n-1) D_4 + … + "" ^ 0 D_4 #

  # = 1/6 (n + 1) (n + 2) (n + 3) +1/6 ((n-1) +1) ((n-1) +2) ((n-1) +3) + … + 1/6 (0 + 1) (0 + 2) (0 + 3) #

# = 1/24 (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) #

Asi que:

# "" ^ 9 D_5 = 1/24 (9 + 1) (9 + 2) (9 + 3) (9 + 4) = 715 #