¿Cómo resuelves el sistema x ^ 2 + y ^ 2 = 9 y x-3y = 3?

Responder:

Hay dos soluciones para este sistema: los puntos. #(3,0)# y #(-12/5, -9/5)#.

Explicación:

Este es un problema interesante del sistema de ecuaciones porque produce más de una solución por variable.

Por qué sucede esto es algo que podemos analizar en este momento. La primera ecuación, es la forma estándar para un círculo con radio #3#. La segunda es una ecuación ligeramente desordenada para una línea. Limpiado, se vería así:

#y = 1/3 x - 1 #

Así que, naturalmente, si consideramos que una solución para este sistema será un punto donde la línea y el círculo se intersecan, no debería sorprendernos saber que habrá dos soluciones. Uno cuando la línea entra en el círculo, y otro cuando sale. Ver este gráfico:

gráfico {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Primero comenzamos manipulando la segunda ecuación:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Podemos insertar esto directamente en la primera ecuación para resolver # y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Obviamente esta ecuación tiene dos soluciones. Uno para #y = 0 # y otro para # 9 + 5y = 0 # lo que significa #y = -9 / 5 #.

Ahora podemos resolver para el #X# en cada uno de estos # y # valores.

Si # y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Si #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Así que nuestras dos soluciones son los puntos: #(3,0)# y #(-12/5, -9/5)#. Si vuelve a mirar el gráfico, puede ver que estos corresponden claramente a los dos puntos en los que la línea cruzó el círculo.