Responder:
Pista 1: Supongamos que la ecuación # x ^ 2 + x-u = 0 # con # u # un entero tiene solución entera #norte#. Muestra esa # u # incluso.
Explicación:
Si #norte# Es una solución el hay un entero #metro# tal que
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
Dónde #nm = u # y # m-n = 1 #
Pero la segunda ecuación implica que #m = n + 1 #
Ahora ambos #metro# y #norte# son enteros, por lo que uno de #norte#, # n + 1 # es parejo y #nm = u # incluso.
Proposición
Si # u # es un entero impar, entonces la ecuación # x ^ 2 + x - u = 0 # no tiene solución que sea un número entero.
Prueba
Supongamos que existe una solución entera #metro# de la ecuación:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
dónde # u # es un entero impar. Debemos examinar los dos casos posibles:
#metro# es impar; o
#metro# incluso.
Primero, consideremos el caso donde #metro# es impar, entonces existe un entero # k # tal que
# m = 2k + 1 #
Ahora desde #metro# Es una raíz de nuestra ecuación, debe ser que:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
Y tenemos una contradicción, como # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # es parejo, pero # u # es impar.
A continuación, consideremos el caso donde #metro# es par, entonces existe un entero # k # tal que
# m = 2k #
Del mismo modo, ya que #metro# Es una raíz de nuestra ecuación, debe ser que:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
Y, de nuevo, tenemos una contradicción, como # 2 (2k ^ 2 + k) # es parejo, pero # u # es impar.
Así que hemos demostrado que no hay una solución entera de la ecuación # x ^ 2 + x - u = 0 # dónde # u # es un entero impar.
De ahí se prueba la proposición. QED
Responder:
Vea abajo.
Explicación:
Si # x ^ 2 + x-u = 0 # entonces
#x (x + 1) = u # Entonces sí #X# es un número entero, #x (x + 1) # Es par, siendo una contradicción porque. # u # Por hipótesis es impar.
