Resuelve la siguiente ecuación en números naturales: x² + y² = 1997 (x-y)?

Responder:

# (x, y) = (170, 145) # o # (x, y) = (1817, 145) #

Explicación:

La siguiente prueba se basa en el libro "Introducción a las ecuaciones diofánticas: un enfoque basado en problemas" por Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.

Dado:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Dejar #a = (x + y) # y #b = (1997-x + y) #

Entonces:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (x-y) + xy) #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Por lo tanto encontramos:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Ya que #1997# es primo, #una# y #segundo# no tienen un factor común mayor que #1#.

De ahí que existan enteros positivos. #m, n # con #m> n # y ningún factor común mayor que #1# tal que

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} color (blanco) (XX) "o" color (blanco) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Mirando a # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # en mod #3# y mod #5# Aritmética, encontramos:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) por lo tanto #m - = + -1 # y #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) por lo tanto #m - = + -1 # y #n - = + -1 # (mod #5#)

Eso significa que las únicas posibilidades para #m, n # modulo #15# son #1, 4, 11, 14#.

Además tenga en cuenta que:

# m ^ 2 en (1997/2, 1997) #

Por lo tanto:

#m en (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

Así que las únicas posibilidades para #metro# son #34, 41, 44#

Encontramos:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# No es un cuadrado perfecto.

#1997 - 44^2 = 61# No es un cuadrado perfecto.

Asi que # (m, n) = (34, 29) #

Asi que:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#color blanco)()#

Si # (a, b) = (1972, 315) # entonces:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

y por lo tanto:

# (x, y) = (1817, 145) #

#color blanco)()#

Si # (a, b) = (315, 1972) # entonces:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

y por lo tanto:

# (x, y) = (170, 145) #