Usando http: //.org/questions/in-1-6-1-6666-repeating-6-is-called-repeatend-or-reptend-i-learn-from-https-en-w, cómo diseña ¿Un conjunto de números racionales {x} que se hayan reptendido con millones de dígitos?

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

Vayamos un paso más allá, y diseñemos un conjunto que contenga cada Número racional con una repetición con #10^6# dígitos

Advertencia: Lo siguiente está muy generalizado y contiene algunas construcciones atípicas. Puede ser confuso para los estudiantes que no se sienten completamente cómodos construyendo conjuntos.

Primero, queremos construir el conjunto de nuestras repeticiones de longitud. #10^6#. Si bien podemos empezar con el set. #{1, 2, …, 10^(10^6+1)-1}# que contiene cada número natural con a lo más #10^6# Dígitos, nos encontraríamos con un problema. Algunas de estas repeticiones se podrían representar con cadenas más pequeñas, por ejemplo # 0.bar (111 … 1) = 0.bar (1) #o # 0.bar (121212 … 12) = 0.bar (12) #. Para evitar esto, primero definimos un nuevo término.

Considera un número entero #a en 1, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1 #. Dejar # a_1a_2 … a_ (10 ^ 6) # ser un #10^6# Representación de dígitos de ese número entero, posiblemente con #0#s si #una# tiene menos de #10^6# dígitos Llamaremos #una# útil si para cada divisor apropiado #metro# de #10^6#, #una# no es de la forma # a_1a_2 … a_ma_1a_2 … a_m "" … "" a_1a_2 … a_m #

Ahora podemos hacer nuestro conjunto de repeticiones.

Dejar #A = {a en {1, 2, …, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1}: a "es útil"} #

A continuación, construiremos nuestro conjunto de posibles dígitos decimales iniciales que no se repiten. Teniendo en cuenta que esto también podría tener líderes #0#s, o consisten enteramente en #0#s, representaremos nuestros números como tuplas de la forma # (k, b) #, dónde # k # representará la longitud de la cadena de dígitos, y #segundo# representará su valor cuando se evalúe como un entero. Por ejemplo, los dígitos. #00032# se emparejaría con la tupla #(5, 32)#.

Dejar #B = (NNuu {0}) xx (NNuu {0}) #

Finalmente, agreguemos nuestra porción entera a la mezcla. Tenga en cuenta que, a diferencia de las partes fraccionarias, contabilizaremos el signo aquí y usaremos # ZZ # en lugar de # NN #.

Dejar #C = A xx B xx ZZ #. Es decir, #DO# es el conjunto de #3#-tuples # (a, (k, b), c) # tal que, #una# es un entero útil con a lo sumo #10^6# dígitos # (k, b) # representa un # k #-dígito cadena de dígitos cuyo valor integral es #segundo#y #do# es un entero

Ahora que tenemos conjuntos que abarcan todos los posibles #a B C# cadena con las propiedades deseadas, las uniremos usando el formulario construido en la pregunta referenciada.

#S: = {((10 ^ kc + b) (10 ^ (10 ^ 6) -1) + a) / (10 ^ k (10 ^ (10 ^ 6) -1)):(a, (k, b), c) en C} #

Entonces #S subconjunto QQ # es el conjunto de números racionales con #10^6# repeticiones de dígitos.

Gracias a Sente, la teoría está en su respuesta.

Para un subconjunto de la respuesta

# {x} = {I + M + (d_ (msd) ddd … dddd_ (lsd)) / (9999 … 9999)} #, #I en N # y M una fracción apropiada de la forma m-dígito

entero/# 10 ^ m #, #d_ (msd) # es el dígito más significativo distinto de cero. LSD

significa el dígito menos significativo.

Elucidación:

Sea I = 2, M =.209 / 1000 =.209, #d_ (lsd) = 7 y d_ (msd) = 3 #. En-

entre los d son todos 0..

Entonces.

#x = 2.209+ (7000 … 0003) / (9999 … 9999) #

# = 2.209 7000 … 0003 7000 … 0003 7000 … 0003 … hasta el infinito.

Note la división por #10^100001-1=9999…9999#.

Tanto el numerador como el denominador tienen el mismo número de sd.

Sans msd d, d's podría ser cualquier #in {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} #.