Demuestre que la ecuación x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 tiene exactamente una solución en [0, 1]?

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

En primer lugar, vamos a calcular #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # en el límite de nuestro dominio:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Si calculamos el derivado

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Podemos ver que siempre es positivo en #0,1#. De hecho, # x ^ 2 + 1 # siempre es positivo, y # 4x # es obviamente positivo, ya que #X# es positivo.

Por lo tanto, nuestra función comienza por debajo de la #X# eje, desde #f (0) <0 #, y termina por encima de la #X# eje, desde #f (1)> 0 #. La función es un polinomio, y por lo tanto es continua.

Si una línea continua comienza debajo del eje y termina arriba, significa que debe haberla cruzado en algún punto intermedio. Y el hecho de que la derivada sea siempre positiva significa que la función siempre está creciendo y, por lo tanto, no puede cruzar el eje dos veces, de ahí la prueba.