Responder:
Converge a # 1 + i # (en mi calculadora gráfica Ti-83)
Explicación:
Dejar # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
Primero, suponiendo que esta serie infinita converge (es decir, suponiendo que S existe y toma el valor de un número complejo), # S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
Y si resuelves para S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
y aplicando la fórmula cuadrática obtienes:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 pm i #
Usualmente la función de raíz cuadrada toma el valor positivo por lo tanto # S = 1 + i #
Por lo tanto, si converge entonces debe converger a # 1 + i #
Ahora todo lo que tienes que hacer es demostrar que converge o si eres perezoso como yo, entonces puedes conectarlo. # sqrt {-2} # en una calculadora que puede manejar números imaginarios y usar la relación de recurrencia:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Repetí esto muchas veces en mi Ti - 83 y encontré que se acerca más, por ejemplo, después de haberlo repetido en alguna parte, como 20 veces, aproximadamente.
# 1.000694478 + 1.001394137i #
bastante buena aproximación
