La fuerza aplicada contra un objeto que se mueve horizontalmente en una trayectoria lineal se describe por F (x) = x ^ 2-3x + 3. ¿Cuánto cambia la energía cinética del objeto a medida que el objeto se mueve de x en [0, 1]?

Responder:

La segunda ley del movimiento de Newton:

# F = m * a #

Definiciones de aceleración y velocidad:

# a = (du) / dt #

# u = (dx) / dt #

Energía cinética:

# K = m * u ^ 2/2 #

La respuesta es:

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

La segunda ley del movimiento de Newton:

# F = m * a #

# x ^ 2-3x + 3 = m * a #

Sustituyendo # a = (du) / dt # No ayuda con la ecuación, ya que #F# no se da en función de # t # pero en función de #X# Sin embargo:

# a = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Pero # (dx) / dt = u # asi que:

# a = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Substituyendo en la ecuación que tenemos, tenemos una ecuación diferencial:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (x ^ 2-3x + 3) dx = m * udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * udu #

Las dos velocidades son desconocidas pero las posiciones. #X# son conocidos. Además, la masa es constante:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) udu #

# x ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

Pero # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Nota: las unidades son # kg * m ^ 2 / s ^ 2 # solo si las distancias dadas # (x en 0,1) # están en metros.