¿Cómo encontrar la primera derivada de f (x) = 2 sin (3x) + x?

Responder:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Explicación:

Diferenciar cada término:

# (d (x)) / dx = 1 #

Usando las reglas de la cadena para el segundo término tenemos:

#g (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) h '(k (x)) #

Con:

#h (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#k (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#g (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

Juntos tenemos:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Responder:

Se nos pide que encontremos el derivado de #f (x) = 2sin (3x) + x # usando la definición: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Explicación:

Necesitamos evaluar:

#lim_ (hrarr0) (sobrebrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) ^ (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / h #.

Esto será engorroso. Para que parezca menos complicado, dividamos la expresión en dos partes más simples. Tomaremos la parte trigonométrica y la parte lineal por separado.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

Asumiré que puede demostrar que el segundo límite es #1#. El límite más desafiante es el límite que involucra funciones trigonométricas.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h)) #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Entonces, cuando juntamos las dos piezas, obtenemos:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #