El número 90 ^ 9 tiene 1900 divisores integrales positivos diferentes. ¿Cuántos de estos son cuadrados de enteros?

Responder:

Wow - puedo responder a mi propia pregunta.

Explicación:

Resulta que el enfoque es una combinación de combinatoria y teoría de números. Comenzamos por factoring #90^9# en sus factores primos:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

El truco aquí es averiguar cómo encontrar cuadrados de números enteros, que es relativamente simple. Los cuadrados de enteros se pueden generar de varias maneras a partir de esta factorización:

#5^9*3^18*2^9#

Podemos ver eso #5^0#, por ejemplo, es un cuadrado de un entero y un divisor de #90^9#; igualmente, #5^2#, #5^4#,#5^6#y #5^8# todos cumplen con estas condiciones también. Por lo tanto, tenemos 5 formas posibles de configurar un divisor de #90^9# eso es un cuadrado de un entero, usando 5s solo.

El mismo razonamiento se aplica a #3^18# y #2^9#. Toda potencia par de estos factores primos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 en total) para 3 y 0, 2, 4, 6, 8 (5 en total) para 2 - es un cuadrado perfecto que es un divisor de #90^9#. Además, cualquier combinación De estos divisores principales que tienen poderes iguales también satisfacen las condiciones. Por ejemplo, #(2^2*5^2)^2# es un cuadrado de un entero, como es #(3^8*2^4)^2#; y ambos, constituidos por divisores de #90^9#, son tambien divisores de #90^9#.

Así, el número deseado de cuadrados de enteros que son divisores de #90^9# es dado por #5*10*5#, que es la multiplicación de las opciones posibles para cada factor primo (5 para 5, 10 para 3 y 5 para 2). Esto es igual a #250#, Cuál es la respuesta correcta.