Demuestre que si p, q, r, s son números reales y pr = 2 (q + s), al menos una de las ecuaciones x ^ 2 + px + q = 0 y x ^ 2 + rx + s = 0 tiene raíces reales?

Responder:

Por favor ver más abajo.

El discriminante de # x ^ 2 + px + q = 0 # es # Delta_1 = p ^ 2-4q #

y eso de # x ^ 2 + rx + s = 0 # es # Delta_2 = r ^ 2-4s #

y # Delta_1 + Delta_2 = p ^ 2-4q + r ^ 2-4s #

= # p ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) #

= # (p + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (p + r) ^ 2-2 pr-2 (q + s) #

y si # pr = 2 (q + s) #, tenemos # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Como suma de los dos discriminantes es positiva, Al menos uno de ellos sería positivo.

y por lo tanto al menos una de las ecuaciones. # x ^ 2 + px + q = 0 # y # x ^ 2 + rx + s = 0 # Tiene raíces reales.