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Vea abajo.
Explicación:
Vocación # E-> f (x, y, z) = ax ^ 2 + por ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #
Si #p_i = (x_i, y_i, z_i) en E # entonces
# ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # es un plano tangente a #MI# Porque tiene un punto común y #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # es normal a #MI#
Dejar # Pi-> alpha x + beta y + gamma z = delta # ser un plano general tangente a #MI# entonces
# {(x_i = alpha / (a delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)):} #
pero
# ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # asi que
# alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c = delta ^ 2 # y la ecuación genérica del plano tangente es
#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c) #
Ahora se dan tres planos ortogonales.
# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #
y llamando #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # y haciendo
#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # podemos elegir
#V cdot V ^ T = I_3 #
y como consecuencia
# V ^ Tcdot V = I_3 #
entonces tenemos también
# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0):} #
Ahora agregando #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # tenemos
# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy suma (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + suma (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2 #
y finalmente
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #
pero #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
asi que
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
que es el camino trazado por el punto de intersección de tres planos tangentes perpendiculares mutuos al elipsoide.
Se adjunta una parcela para el elipsoide.
# x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #
