Z es un número complejo Demuestre que la ecuación z ^ 4 + z + 2 = 0 no puede tener una raíz z tal que z <1?

# z ^ 4 + z + 2 = 0 #

# z ^ 4 + z = -2 #

#abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 #

#abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1) #

Si #absz <1 #, entonces # absz ^ 3 <1 #, Y #abs (z ^ 3 + 1) <= abs (z ^ 3) + abs1 <1 + 1 = 2 #

Finalmente si #absz <1 #, entonces

#abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1) <1 * 2 <2 # así que no podemos tener

# z ^ 4 + z = -2 #

#abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 # como se requiere para una solución.

(Puede haber pruebas más elegantes, pero esto funciona.)