Responder:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # para #b en RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # para #b = | b | e ^ (itheta) en CC #
Explicación:
Por el teorema fundamental del álgebra, podemos factorizar la expresión dada como
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
donde cada # alpha_k # es una raíz de # x ^ 8 + b ^ 8 #.
Resolviendo para # alpha_k #, obtenemos
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | b | (-1) ^ (1/8) # (asumiendo #b en RR #)
# = | b | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k en ZZ #
Como #k en {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # cuentas de todos los valores únicos de esa forma, obtenemos nuestra factorización como, por ejemplo, #b en RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
Para una más general. #b en CC #, entonces suponiendo #b = | b | e ^ (itheta) #, podemos pasar por cálculos similares para encontrar
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
sentido
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) #
Lo siento, pasé por alto algunos detalles menores, la respuesta proporcionada por sente es correcta.
Suponiendo que #b ne 0 # y # a, b en RR # tenemos
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # entonces
# a / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # entonces
# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # son los # k = 0,1, cdots, 7 # Raíces o factores.
Definir
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
y entonces
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
asi que
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # Con coeficientes reales.
