Responder:
Solución: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) #
Explicación:
# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # o
# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # o
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # o
# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # o
# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0:. # Ya sea
# (4 cos (x / 2) +5) = 0 o (5 cos (x / 2) -3) = 0 #
# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # o
# cos (x / 2)! = 5/4 # desde rango de #cos x # es #-1,1#
# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # o
#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53.13 ^ 0 #
también #cos (-53.13) ~~ 3/5:. x = 53.13 * 2 ~~ 106.26 ^ 0 #
y # x = (-53.13) * 2 ~~ -106.26 ^ 0 #
Solución: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) # Respuesta
Responder:
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # entero # k #
Explicación:
Empecemos sustituyendo # y = x / 2 # Deshacerse de los ángulos fraccionarios.
# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #
La forma favorecida de la fórmula de doble ángulo coseno es
#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #
Sustituyendo, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #
# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #
Eso es un dolor a factor, pero una pequeña búsqueda viene con
# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #
#cos y = 3/5 o cos y = -5 / 4 #
Podemos ignorar el coseno fuera de rango.
#cos y = 3/5 #
Podemos utilizar la fórmula de doble ángulo:
#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #
# x = arccos (-7/25) #
Eso es un triple pitagórico #7^2+24^2=25^2# para que podamos tratar de escribir eso como # arctan (pm 24/7) # Pero eso es más raíces extrañas.
# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi k quad # entero # k #
Comprobar:
Vamos a revisar una pareja con una calculadora.
# x = texto {Arco} texto {cos} (- 7/25) aprox 106.260205 ^ circ #
# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 veces 10 ^ {- 8} quad sqrt #
Añadamos 360 y comprobemos de nuevo:
# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = -15.6 quad # NO FUNCIONA.
Debido al medio ángulo, la respuesta correcta parece ser
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # entero # k #
