¿Cuál es la mejor manera de encontrar sqrt (13) sin usar una calculadora?

Responder:

Yo sugeriría el Método de Newton, aunque no estoy preparado para afirmar que es más fácil de adivinar y verificar, luego ajuste la conjetura.

Explicación:

El método de Newton es un método iterativo de aproximación. (Funciona debido al cálculo, pero esta pregunta está publicada en Álgebra, así que dejemos eso solo).

Hacer una primera aproximación. En tu ejemplo, di # x_1 = 3 #

La siguiente aproximación es: # x_2 = 1/2 (13 / x_1 + x_1) #

En otras palabras, dividir #13# por la aproximación actual y media con su última aproximación.

Conocimiento # x_n #, encontramos #x_ (n + 1) # por:

#x_ (n + 1) = 1/2 (13 / x_n + x_n) #

Así obtenemos: # x_1 = 3 #

Encontrar # x_2 #:

#13/3 = 4.33#

El promedio de nuestra aproximación actual, #3# y el cociente #4.33# es #3.67#

Asi que # x_2 = 3.67 #

Encontrar # x_3 #:

#13/3.67 = 3.54#

El promedio de nuestra aproximación actual, #3.67# y el cociente #3.54# es #3.61#

Asi que # x_3 = 3.61 #

Sí, solía ser tedioso hacer cálculos.

Responder:

Existe un método (quizás no muy conocido) para encontrar la raíz cuadrada de un número que he tratado de demostrar a continuación.

Explicación:

Comience como si estuviera configurando una división larga (pero tenga en cuenta la ausencia de un divisor). El número se divide en bloques de 2 dígitos con tantos pares de ceros después del punto decimal como desee escribir. El punto decimal debe escribirse directamente sobre el punto decimal del número para el que está tratando de encontrar la raíz cuadrada (parece que he perdido la mía).

Decida el dígito más grande cuyo cuadrado no sea mayor que el primer par de dígitos del valor con el que está trabajando e ingréselos como se indica a continuación

Multiplique el número sobre la línea por el número a la izquierda de la línea vertical y reste este producto del valor que se encuentra arriba.

Copie el siguiente par de dígitos como sufijo del resto anterior.

Duplique el valor sobre la línea y permita un dígito de sufijo (por lo tanto, en este caso 3 se convierte en algo entre 60 y 69; aún no se ha determinado).

Determine el dígito más grande que, cuando se usa como el dígito del sufijo a la izquierda y luego se usa para multiplicar el valor resultante, no es mayor que el valor de trabajo (en este caso, no es mayor que 400).

Multiplica, resta, baja el siguiente par de dígitos.

Doble el valor de la parte superior y escriba con espacio para un dígito de sufijo a la izquierda del área de trabajo.

Continuar el proceso como se indica a continuación:

Por favor; Si alguien puede proporcionar una explicación más sencilla de cómo trabajar este proceso, hágalo.

Responder:

En lugar de escribir un largo comentario a Jim's, aquí hay una respuesta 'otra'.

Encontrar #sqrt (n) #, itere sus aproximaciones usando:

#a_ (i + 1) = a_i + (n - a_i ^ 2) / (2a_i) #

Explicación:

Usualmente uso esto con fracciones 'impropias' para derivar una secuencia de aproximaciones, deteniéndome cuando creo que tengo suficientes dígitos significativos, y luego dividiendo los números enteros resultantes.

Alternativamente, si solo quiero la raíz cuadrada a 4 dígitos significativos más o menos, comienzo con una aproximación razonable de 2 dígitos y realizo uno o dos pasos.

Trato de memorizar los cuadrados de #2# números de dígitos también. Así que en el caso de #13# Debería recordar que #36^2 = 1296# es bastante cercano a #1300#, asi que #36# hace una buena aproximación a #sqrt (1300) #.

La próxima aproximación sería #36 + 4/72 = 36 + 1/18 ~= 36.056#

Por lo tanto #sqrt (13) ~ = 3.6056 #