¿Cómo factorizas cos ^ 2 x + 7 cos x + 8?

Responder:

# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #

Primero dejar # t = cosx #.

# y = t ^ 2 + 7t + 8 #

Ahora, completemos el cuadrado para factorizar esto.

# y = (t ^ 2 + 7t) + 8 #

Tenga en cuenta que # (t + 7/2) ^ 2 = (t + 7/2) (t + 7/2) #

# = t ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #

# = t ^ 2 + 7t + 49/4 #

Así que queremos añadir #49/4# en la expresión y restarlo de nuevo.

# y = (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #

Tenga en cuenta que #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.

# y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #

Ahora nota que # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.

# y = (t + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #

Ahora, tenemos una diferencia de cuadrados y podemos factorizarla como una.

#y = (t + 7/2) + sqrt17 / 2 (t + 7/2) -sqrt17 / 2 #

# y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #

Si lo deseamos, podemos aportar un factor común de #1/2# fuera de cada parte:

# y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #

# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #

dejar # u = cos (x) #

La pregunta entonces se convierte en:

Factor # u ^ 2 + 7u + 8 # Usted podría simplemente usar una fórmula cuadrática aquí, es decir. # u = frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #

o puedes hacerlo por el camino largo (que no es mejor que la fórmula, de hecho es uno de los métodos utilizados para formular la fórmula cuadrática):

encuentra dos raíces, # r_1 # y # r_2 # tal que # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #

Expandir: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #

# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #

Así: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #

y por lo tanto: # - (r_1 + r_2) = 7 # y # (r_1) (r_2) = 8 #

# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #

# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #

# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #

# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #

# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #

# r_1-r_2 = sqrt (17) #

# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + sqrt (17)} {2} #

# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #

Así, la forma factorizada es # (u + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (u + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #

sub # u = cos (x) # Llegar:

# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #