Responder:
#3#
Explicación:
Dejar
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
donde restringimos nuestra solución para que sea positiva, ya que solo estamos tomando la raíz cuadrada positiva, es decir, #x> = 0 #. Cuadrando ambos lados tenemos
# x ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => x ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
Donde esta vez restringimos el lado izquierdo para que sea positivo, ya que solo queremos la raíz cuadrada positiva, es decir, # x ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #
donde hemos eliminado la posibilidad del #x <= - sqrt (7) # Usando nuestra primera restricción.
Nuevamente cuadrando ambos lados tenemos
# (x ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
La expresión en las raíces cuadradas repetidas es la expresión original para #X#, por lo tanto
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
o
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Las soluciones de prueba de esta ecuación son: # x = -2 # y # x = + 3 # lo que resulta en la siguiente factorización
# (x + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
Usando la fórmula cuadrática sobre el tercer factor. # (x ^ 2 + x-7) = 0 # Nos da dos raíces más:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2.19 "y" -3.19 #
Las cuatro raíces del polinomio son por lo tanto #-3.19…, -2, 2.19…, # y #3#. Solo uno de estos valores satisface nuestra restricción. #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #, por lo tanto
# x = 3 #
Responder:
De otra manera
Explicación:
Me gusta discutir una manera difícil de tener una solución de un vistazo sobre el problema de las raíces cuadradas repetidas como la siguiente
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
dónde # r # pertenece a la siguiente serie
#3,7,13,21,31…………#, cuyo término general está dado por
# m ^ 2-m + 1 # dónde # m epsilon N # y #m> 1 #
TRUCO
Si se resta 1 del número dado # m ^ 2-m + 1 # el número resultante se convierte # m ^ 2-m # cual es #m (m-1) # y que no es más que el producto de dos números consecutivos y uno más grande de estos dos será la única solución del problema.
cuando r = # m ^ 2-m + 1 # el factor de # m ^ 2-m + 1-1 # = # (m-1) m # y m es la respuesta
cuando r = 3 el factor de (3-1) = 2 = 1.2 y 2 es la respuesta
cuando r = 7 el factor de (7-1) = 6 = 2.3 y 3 es la respuesta
y así…….
Explicación
Tomando
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Cuadrado de ambos lados
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Nuevamente escuadrando ambos lados
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
poniendo r = # m ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
si ponemos x = m en el LHS de esta ecuación, el LHS se convierte en
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (cancelar (m ^ 2) - cancelar (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (m-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
La ecuación está satisfecha.
Por lo tanto, m es la respuesta.
pongamos
# x = sqrt (7 + sqrt (7- sqrt (7 + sqrt (7-sqrt …. #
Podemos ver fácilmente que
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Así que vamos a resolver la ecuación:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Esta no es una ecuación trivial a resolver. Una de las otras personas que respondieron a la pregunta refirió la solución 3. Si lo intenta, verá que es verdad.
